圖解不等式題目恆正恆負：一次、二次、高次不等式

高中數學必考的不等式題目不知道如何解嗎？恆正恆負又要怎麼判斷？教你一次不等式、二次不等式和高次不等式的解題訣竅！快跟著 Kelly 老師一起記口訣，多項式不等式的題目做起來就會又快又順喔！

學會這個觀念，讓你馳騁在數學考場上，遇到什麼難題都不用害怕啦！看完文章如果想實戰演練更多不等式題型，也歡迎補充研讀多項式不等式專論課程！

不等式題型一：一次不等式

在假設 a, b, k 都為實數的情況下，我們可以使用等量公理，那第一個是加減大小不變，也就是兩邊同時加上一個數字，它的大小關係是不會變的喔。可是呢，如果是同時乘除一個負數，他的大小關係就會改變囉！比如說，假如 k 是一個負數，那當 a, b 同時乘上 k 的時候，大小關係就會改變，原本的大於會變成小於，這個地方同學們要特別注意喔！

🚨 請同學注意！這邊影片中的第一行 k 誤植為 s 了，請以這裡的圖片及文字敘述內容為主喔～🚨 

那我們接下來一起來看看右邊這個圖形，第一行它說 f(x) 要等於 0，等於 0 的意思是什麼呢？就是代表它會出現在 x 軸上。所以我們可以找到的就是這三個點，x 就會是 2,4,8。

那如果它的方程式小於 0 代表什麼意思呢？那就是它的圖形會是在 x 軸的下方，所以我們找的區塊是在 2 跟 4 中間這個階段，這題的答案就會是 2 < x < 4。最後一個它要大於 0，所以我們找到的區塊是在 x 軸的上方。那它的解就會是 4 < x < 8。

最後，我們要介紹三種符號，讓大家在不等式的地方就會很輕鬆喔！第一種是小括號 ( ，它代表的就是「沒有包含」左邊這個點；那第二種是中括號 ]，它代表的就是有包含這個點。最後一個符號叫做無限 ∞，它可以有正的無限大跟負的無限大，有了這些符號就可以輕鬆描述這些範圍囉！

我們一起來看這個一次不等式的題目，它給了一個式子然後想求它的範圍，那我們第一步應該要先做什麼？式子的兩邊都有分數，一個分母是 5，一個分母是 2，那怎麼樣可以把它都消掉呢？就是同乘 10 囉！在同乘之後就會變成 10x -2 ≤ 10 + 5x，下一步只要利用等量公理，把它移動就可以了，所以答案就是 x ≤ 五分之十二。

那這裡 Kelly 老師要特別提醒大家的是，如果同學在計算過程中有乘除負的數字，一定要記得變號喔！把握這個原則，就不會出錯了！

不等式題型二：二次不等式

那再來第二個要跟大家介紹的是二次不等式，首先，同學們可以看到圖中左上角第一行的式子。如果這個式子是大於 0 的情況，那我們的解 x 就會小於 𝜶、且大於 β。如果這個式子是小於 0，那我們的解 x 就會介在 𝜶 跟 β 之間。

這裡 Kelly 老師有一個小 tips 可以交給大家，那就是大於 0 取兩邊；小於 0 取中間。但也要特別提醒大家，這是在 a 這個領導係數為正的情況下才能使用喔！

那接下來要教大家，很常在題目上遇到的恆正或恆負的問題。恆正跟恆負是什麼意思呢？代表它跟我們的 x 軸永遠都不會相交。

我們來看一下右邊第一個情況，他如果跟你說是恆正的情況題目又叫你求大於 0 的情況，他的答案就會是任意實數；那如果是求小於等於 0，那它的答案就會是無解囉！我們可以看到左下角的圖，如果要找大於零，那隨便都是大於零的狀況；但如果要找小於零，根本不會有任何圖形跑到下面去，所以其實是很好理解的喔！

那另外恆負的狀況，如果是要找大於等於零的狀況其實完全沒有，但如果要找小於零的狀況，就全部都是喔！

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不等式題型三：高次不等式

再來我們來看一些高次不等式的題目吧！首先可以先把題目因式分解，第一題可以寫成 (x - 3)(x + 2) > 0，那如果是大於 0 我們是取兩邊，如上圖左邊第一個圖形。同學要記得喔，這裡原本沒有等號，所以求解的時候也不會有等號！所以我們算出第一題的答案是： x < -2, x >3。

第二題同學有沒有發現它的領導係數是負數？所以我們第一件事情就是要先把它的領導係數轉成正數！把兩邊同乘一個負號之後，原本的大於零要記得改成小於零。

那下一步就可以像第一題一樣把它因式分解，變成 (x + 6)(x -1) < 0，就可以把數線畫出來囉。大於零取兩邊，小於零取中間，所以在這題裡面我們要取的是 - 6 跟 1 中間的區域，所以答案就是 -6 < x < 1。

第三題我們可以先把它展開，再透過移項整理，得到畫面右手邊第二行的式子。那接下來就可以像做第一題一樣，這時你會發現它其實是 (x - 3) 的平方，然後這一題就結束了。為什麼結束了呢？因為你會發現一個平方的數字一定是正的嘛，但是它又要求要小於零，所以這一題答案就是無解啦！

如果這三題都瞭解了，我們來幫大家濃縮高次不等式的大重點！

🌟 高次不等式有四個步驟如下：

1. 使右邊為 0
2. 領導係數必須為正
3. 左邊因式分解，恆正可消去
4. 將圖畫出來

那我們馬上用右邊的這個範例來試試看吧！首先我們可以把節點 1、2、3 標上去，第一個步驟，這題剛好右邊本來就為 0 了；再來我們看到 (3 - x) 的三次方，所以為了讓它為正，我們要左右同乘負號，所以大於等於零就要變成小於等於零囉！

左邊因式分解這題已經幫你因式分解好了，所以接下來就可以把圖畫出來。那這裡可以教大家記一個口訣叫「奇穿偶彈」，什麼意思呢？就是它的次方如果是奇數次，那就要穿過 x 軸；如果是偶數次的話就要維持在它原本的區域喔。

大家可以看看畫面右上角的圖，是不是奇次方的穿過去，偶次方的維持呢？圖形畫出來之後，就可以輕鬆找到題目要的範圍囉！
🚨 請大家特別注意 11:08 因為小於等於0的關係，答案是1≤x≤3 🚨 

接下來我們這個題目，第一步可以先把圖形畫出來，把上面的節點標上去。那提醒同學，這裡節點之間的距離不是那麼重要，重要的是他們之間的大小關係，一定要排列正確，不要弄錯囉！ 大家可以上面的圖片，那這裡同學可以發現每個都是一次方，所以這次每一個點都要穿過去喔！

那題目說要求小於零的整數解，所以我們可以先把小於零的地方畫上斜線，再來就可以把範圍寫出來囉！那因為它想要求的是整數解，所以我們先把分數變成帶分數，就可以找出符合的整數解了，所以總共就是八個整數解。

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