解の公式、平方完成、解と係数の関係

こんにちは。Snapask講師のIketです。今回は、大学受験数学では文系理系を問わず必要になってくる、解の公式、平方完成、解と係数の関係について解説していきたいと思います。これらは基本的な事項なので、穴のないよう完璧に理解しておきましょう!

1. 解の公式

　二次方程式 

$ax^2+bx+c=0$

の解を求める(xイコールの形にする)公式が、「二次方程式の解の公式」です。以下に示す解の公式自体は、中学生の方でもご存じの方は多いと思います。

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

これを中学生の時は何度も書いたり暗唱したりして覚えて使っていましたが、

中学で学習する平方完成の知識を用いると、この解の公式は導き出すことができます。xについて解くだけなので当たり前なのですが、平方完成を学習したはずの高校生に解の公式の導出をしてみてください、と言うと案外この平方完成と結びついていないことがあります。教科書には必ず書かれている基本ですので、問題演習するばかりではなく、こういった公式導出の勉強も大切です。

二次方程式

$ax^2+bx+c=0$

これの左辺を平方完成していきます。まず二次の係数aで括って、

$a(x^2+\frac{bx}{a})+c=0$

その後、二乗で括れる形にします。

$a\left\{x^2+\frac{bx}{a}+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2\right\}+c=0$

$a\left\{(x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2\right\}+c=0$

これで、xが一か所にまとまったので、あとはxについて解いていきます。

$a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}=0$

ｘを含む式を左辺に、それ以外の項を右辺に持っていきます。

$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

今回は、二次方程式が実数解を持つ場合のみを考えることとします。その時、

$b^2-4ac\geqq0$

ですから、

$x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

となります。この式の右辺は、aが正であっても負であっても

$\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

となるので、

$x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt\frac{b^2-4ac}{2a}$

となり、冒頭の式が得られます。

 

2. 解と係数の関係

　先ほど導出した二次方程式の解の公式を用いると、解と係数の関係が容易に

　導出できます。二次方程式

$ax^2+bx+c=0$

の2つの解をα, βとすると、２つの解の和について、

$\alpha+\beta=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac{b}{a}$

 また、2つの解の積については、

$\alpha\beta=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$

となります。

3.まとめ

数学の勉強では公式を使った演習に目が行きがちですが、教科書には必ず記載されている公式の導出をすらすらできるようになることも重要です！ぜひ皆さんが数学を勉強される際には、この公式についての学習も力を入れて頂けるとよいと思います。それでは、頑張ってください！